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Du gibst einige Werte in einen Stichprobengrößen-Rechner ein und erhältst etwa «384 Antworten». Das ist praktisch. Wenn dein Betreuer aber fragt, warum es 384 sind, möchtest du nicht nur sagen: «Der Rechner hat es so angegeben.»
Dieser Leitfaden öffnet die Blackbox. Du siehst, was die Formel mit jeder Eingabe macht, warum in veröffentlichter Forschung immer wieder 385 auftaucht und weshalb die Populationsgröße die Antwort viel weniger verändert, als die meisten erwarten. Wenn du nur eine begründbare Zahl ohne Theorie brauchst, bietet unser Leitfaden zur Stichprobengröße Richtwerte und Faustregeln. Dieser Beitrag ist für den Fall, dass du die Zahl erklären musst.
Die Formel auf einen Blick
Für einen Anteil, den häufigsten Fall bei Umfragen, lautet die Grundformel nach Cochran:
n = (z² × p × (1 − p)) / e²
Vier Bestandteile:
- z ist der z-Wert deines Konfidenzniveaus. 95% Konfidenz bedeutet z = 1,96.
- p ist der erwartete Anteil für eine bestimmte Antwort. Wenn du ihn nicht kennst, nutzt du 0,5, weil dadurch die größte und sicherste Stichprobe entsteht.
- e ist die Fehlertoleranz als Dezimalzahl. Plus oder minus 5% bedeutet e = 0,05.
- n ist die Zahl der benötigten vollständigen Antworten.
Mit den üblichen Standardwerten, 95% Konfidenz, p = 0,5 und 5% Fehlertoleranz, ergibt sich:
n = (1,96² × 0,5 × 0,5) / 0,05² = 0,9604 / 0,0025 = 384,16, aufgerundet auf 385
Das ist das ganze Geheimnis hinter «du brauchst etwa 400 Antworten». Es ist diese Formel mit den häufigsten Standardwerten.
Warum scheinbar jede Studie 385 Personen braucht
Die Zahl 385 ist kein Naturgesetz. Cochran liefert sie bei 95% Konfidenz, 5% Fehlertoleranz und maximaler Unsicherheit, also p = 0,5. Sobald sich eine Eingabe ändert, ändert sich auch die Zahl.
Was jede Eingabe wirklich bewirkt
Konfidenzniveau: Wie oft die Methode richtig liegt
Ein Konfidenzniveau von 95% bedeutet, dass bei vielen Wiederholungen 95% der berechneten Intervalle den wahren Populationswert enthalten würden. Es ist eine Aussage über die Methode, nicht über ein einzelnes Ergebnis.
Ein höheres Konfidenzniveau erhöht den z-Wert. Weil z in der Formel quadriert wird, steigen die Kosten überproportional:
Konfidenzniveau und benötigte Stichprobe bei 5% Fehlertoleranz und p = 0,5
| Konfidenzniveau | z-Wert | Benötigte Antworten |
|---|---|---|
| 90% | 1,645 | 271 |
| 95% | 1,96 | 385 |
| 99% | 2,576 | 664 |
Für studentische Forschung und die meisten Unternehmensumfragen ist 95% der anerkannte Standard. Wähle 99% nur, wenn eine falsche Entscheidung wirklich teuer wäre, etwa im klinischen oder sicherheitskritischen Kontext.
Fehlertoleranz: Wie genau die Antwort ist
Die Fehlertoleranz beschreibt das «Plus oder minus» um dein Ergebnis. Wenn 60% der Befragten Option A bevorzugen und die Fehlertoleranz 5% beträgt, liegt der wahre Wert plausibel zwischen 55% und 65%.
Da e im Nenner quadriert wird, vervierfacht eine Halbierung der Fehlertoleranz ungefähr die Stichprobe:
Fehlertoleranz und benötigte Stichprobe bei 95% Konfidenz und p = 0,5
| Fehlertoleranz | Benötigte Antworten |
|---|---|
| ±10% | 97 |
| ±5% | 385 |
| ±3% | 1.068 |
| ±2% | 2.401 |
Über diese Eingabe lässt sich verhandeln. Ein Wechsel von ±5% auf ±6% oder ±7% spart viel Feldarbeit und ist für explorative Forschung oft ein sinnvoller Kompromiss.
Erwarteter Anteil: Warum 0,5 der sichere Standard ist
Der Ausdruck p × (1 − p) ist bei p = 0,5 am größten. Wenn du wirklich weißt, dass ein Anteil ungefähr 10% beträgt, zum Beispiel bei einem seltenen Verhalten, sinkt die benötigte Stichprobe. Eine falsche Annahme in die andere Richtung führt jedoch zu zu geringer Teststärke. Ohne frühere Evidenz solltest du p deshalb bei 0,5 lassen.
Die Korrektur für endliche Populationen
Cochrans Formel nimmt eine praktisch unendliche Population an. Bei einer kleinen, klar definierten Gruppe, etwa einer Universität oder einem Unternehmen, kannst du die Stichprobe mit der Korrektur für endliche Populationen reduzieren:
n_angepasst = n / (1 + (n − 1) / N)
Dabei ist N die Populationsgröße. Zwei Dinge überraschen häufig:
Benötigte Antworten bei 95% Konfidenz und ±5%
Erstens helfen kleine Populationen stark: Für eine Abteilung mit 500 Personen brauchst du 217 statt 385 Antworten. Zweitens macht die Korrektur oberhalb von ungefähr 20.000 Personen kaum noch einen Unterschied. Eine Stadt mit 100.000 Menschen und ein Land mit 80 Millionen benötigen fast dieselbe Stichprobe. Die Populationsgröße ist die Eingabe, über die sich viele am meisten sorgen, obwohl sie am wenigsten verändert.
Der Stichprobengrößen-Rechner wendet diese Korrektur automatisch an, wenn du eine Populationsgröße eingibst.
Zwei gerechnete Beispiele
Beispiel 1: Zufriedenheitsumfrage auf dem Campus
Du untersuchst die Zufriedenheit an einer Universität mit 12.000 Studierenden. Du verwendest 95% Konfidenz und ±5% Fehlertoleranz.
- Grundformel: n = (1,96² × 0,25) / 0,05² = 385
- Endliche Korrektur: n = 385 / (1 + 384 / 12.000) = 385 / 1,032 = 373 Antworten
Beispiel 2: Zwei Gruppen in einer Abschlussarbeit vergleichen
Du möchtest Männer und Frauen auf einer fünfstufigen Skala vergleichen. Nun lautet die Frage nicht mehr «wie viele insgesamt», sondern «wie viele je Gruppe». Die Mathematik der Fehlertoleranz ist dafür nicht geeignet. Gruppenvergleiche betreffen das Erkennen eines Unterschieds und damit die statistische Teststärke. Nutze den Rechner für statistische Teststärke und lies Statistical power, explained, um den Vorgang zu verstehen. Als Vorschau: Für einen mittelgroßen Unterschied zwischen zwei Gruppen bei 80% Teststärke werden ungefähr 64 Personen je Gruppe benötigt.
Der häufigste Planungsfehler
Stichprobengrößen auf Basis der Fehlertoleranz beschreiben eine Population. Sobald deine Forschungsfrage «Unterschied», «Effekt» oder «vergleichen» enthält, wechsle zur Power-Analyse. Eine Stichprobe, die zur Beschreibung ausreicht, kann für einen Vergleich deutlich zu schwach sein.
Von benötigten Antworten zu benötigten Einladungen
Die Formel liefert vollständige Antworten. Sie sagt nichts darüber, wie viele Menschen du einladen musst. Bei einer Rücklaufquote von 20% bedeuten 373 vollständige Antworten ungefähr 1.900 Einladungen, noch vor Screen-outs und unzustellbaren Einladungen.
Plane diesen Teil des Funnels mit dem Rücklaufquoten-Rechner und lies was als gute Rücklaufquote gilt, um realistische Benchmarks je Kanal zu erhalten.
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Formel für die Stichprobengröße?
Für Anteile ist die Standardformel nach Cochran n = (z² × p × (1 − p)) / e². z ist der z-Wert des Konfidenzniveaus, p der erwartete Anteil, wobei 0,5 der sichere Standard ist, und e die Fehlertoleranz. Bei kleinen Populationen folgt anschließend die Korrektur für endliche Populationen.
Warum zeigt mein Rechner 385 an?
385 ist das Ergebnis bei 95% Konfidenz, ±5% Fehlertoleranz und p = 0,5, den häufigsten Standardwerten. Es ist eine Konvention und keine magische Grenze.
Spielt die Populationsgröße für die Stichprobe eine Rolle?
Weniger, als die meisten denken. Unter etwa 20.000 Personen verkleinert die Korrektur die benötigte Stichprobe spürbar. Darüber ändert sie fast nichts.
Ist dies die richtige Formel für Gruppenvergleiche?
Nein. Formeln zur Fehlertoleranz beschreiben eine einzelne Population. Um Gruppen zu vergleichen oder einen Effekt zu testen, brauchst du eine Power-Analyse. Unser Rechner für statistische Teststärke deckt diesen Fall ab.
Alle erwähnten Rechner findest du in unserer Sammlung kostenloser Forschungstools.